Ο λογισμός των μεταβολών

(ο Καραθεοδωρή στο γραφείο του)

Ο Κ. Καραθεοδωρή έχει να επιδείξει σπουδαίο έργο σε πολλούς κλάδους των Μαθηματικών και όχι μόνο, αφού σημαντική είναι η προσφορά του και στη Φυσική. Ο λογισμός των μεταβολών είναι χώρος στον οποίο ''κυριαρχεί'' ο Καραθεοδωρή και στον οποίο έχει αναδειχτεί όλο του το ταλέντο και η μεγαλοφυΐα του. Με το λογισμό των μεταβολών ασχολήθηκαν πριν τον Καραθεοδωρή οι κορυφαίοι της επιστήμης, όπως ο Weirstass, ο Euler, οι αδερφοί Bernoulli, ο Hilbert, o Gauss, o Goldsmith κ.α.



Γι' αυτό οι νέοι δρόμοι που ανοίγει σ' αυτόν τον κλάδο ακόμα από τη διατριβή του, προσδιορίζουν την ραγδαία αναρρίχηση του στον ουρανό της επιστήμης.

Εδώ ο Καραθεοδωρή διατυπώνει με χαρακτηριστική σαφήνεια και καταπληκτικής ομορφιάς απλότητα τις εξισώσεις του και τα αξιώματα του μετατρέποντας τον χώρο των μετασχηματισμών προσβάσιμο και εύχρηστο στην μαθηματική επιστημονική κοινότητα. Η κλίση του προς τον λογισμό των μεταβολών εκδηλώνεται για πρώτη φορά στη διδακτορική του διατριβή με τίτλο ''Über die diskontinuierlichen Lösungen in der Variationsrechnung'' (Περί των ασυνεχών λύσεων στο λογισμό των μεταβολών), η οποία αποτελεί πρότυπο έργο και το πρώτο στη μαθηματική βιβλιογραφία που αναπτύσσει τη θεωρία των ασυνεχών λύσεων στο λογισμό των μεταβολών. Στη διατριβή αυτή διατυπώνεται από τον Κ. Καραθεοδωρή μια πολλαπλή μέθοδος για τον λογισμό των μεταβολών, η οποία ακόμη και όταν διατυπώνεται αφηρημένα για ν-διάστατους αριθμητικούς χώρους δεν χάνει την αρχική της γεωμετρική ενορατική αντίληψη.

Γι' αυτό ο Νείλος Σακελαρίου θα γράψει για τη διδακτορική εργασία του Καραθεοδωρή ότι είναι «εν εκ των σπουδαιοτέρων πρωτοτύπων επιστημονικών του έργων το οποίο συνετέλεσε τα μέγιστα εις την περαιτέρω εξέλιξή του»

Παρατηρούμε δηλαδή ότι ο Καραθεοδωρή ξεκινάει δυνατά την νέα του καριέρα με δύο πρωτόγνωρα φαινόμενα. Εργασία για διδακτορικό που προκαλεί δέος, ανοίγει νέους δρόμους για τη μαθηματική επιστήμη και δεύτερον ότι αυτά γίνονται σε ηλικία 31 ετών.


Για τον λογισμό των μεταβολών ο Αϊνστάιν γράφει στον Καραθεοδωρή:
«Αν θέλετε να μπείτε στον κόπο να μου εξηγήσετε ακόμα και τους κανονικούς μετασχηματισμούς θα βρείτε έναν ευγνώμονα και ευσυνείδητο ακροατή. Αν όμως λύσετε και το πρόβλημα των κλειστών γραμμών του χρόνου, θα σταθώ μπροστά σας με σταυρωμένα χέρια. Πίσω από αυτό υπάρχει κρυμμένο κάτι που είναι αντάξιο του ιδρώτα των καλυτέρων.»


Σε άλλη επιστολή τον Σεπτέμβρη του ίδιου έτους γράφει:
«Θα θέλετε να σκεφτείτε κάτι για το πρόβλημα των κλειστών χρονογράμμων; Εκεί βρίσκεται το κέντρο του άλυτου μέχρι τώρα προβλήματος του χωροχρόνου.»

Φυσικά ο Καραθεοδωρή απαντάει με άνεση στον Αϊνστάιν, αφού ο λογισμός των μεταβολών είναι «το βασίλειό του», αποσπώντας από αυτόν τα πλέον εγκωμιαστικά σχόλια, αφού μ’ αυτό τον τρόπο του έδινε τη δυνατότητα να αντιμετωπίσει σοβαρά προβλήματα στη γενική θεωρία της σχετικότητας. Για τα τρία προβλήματα που συνάντησε ο Αϊνστάιν στη γενική θεωρία της σχετικότητας ζήτησε βοήθεια και από άλλους μαθηματικούς. Στα δύο ο Κ. Καραθεοδωρή του απάντησε πλήρως. Στο άλλο δεν κατάφερε να απαντήσει και πολύ αργότερα αποδείχτηκε ότι δεν υπάρχει λύση για το πρόβλημα αυτό.

Στο σημείο αυτό αξίζει να σημειώσουμε ότι ο Κ. Καραθεοδωρή έχει κάνει μία περίφημη εργασία για την ειδική θεωρία της σχετικότητας με τίτλο “Axiomatik der speziellen Relativitatstheorie”, (''Αξιώματα της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας''). Εδώ ο Καραθεοδωρή καταπλήσσει με την απλότητά του στη διατύπωση αυτών των αξιωμάτων. Εν τούτοις αμφισβητείται από τον Αϊνστάιν η μετάβαση από το αρνητικό αποτέλεσμα του πειράματος Michelson – Morley στους μετασχηματισμούς της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας και θεωρείται ακατόρθωτη.

Ο Καραθεοδωρή σ’ αυτό το σημείο αναχωρεί για την οργάνωση του πανεπιστημίου της Σμύρνης και παρά τα όσα μεσολάβησαν το 1923 ολοκληρώνει την εργασία του στην Αθήνα. Η εργασία του δημοσιεύεται στα πρακτικά της πρωσικής Ακαδημίας επιστημών. Πρώτος ο Αϊνστάιν σπεύδει να τον συγχαρεί με τηλεγράφημα που γράφει «Συνάδελφε με καταπλήξατε». Η Πρωσική Ακαδημία Επιστημών αναγνωρίζοντας το μεγάλο επίτευγμα του Καραθεοδωρή τον αναγορεύει μέλος της.

Κατά την αναγόρευση ο μεγάλος Max Planck μεταξύ άλλων τονίζει: 

(ο καθηγητής Max Planck)

«Εσείς, κύριε Καραθεοδωρή, μας επιστήσατε την προσοχή στο διπλό ρόλο που ενυπάρχει στη Θεωρία Μεταβολών, η οποία κατευθύνει την προσοχή μας από το δύσκολο ξεκαθάρισμα των μεμονωμένων περιπτώσεων στην εύκολα εποπτευμένη ολότητα. Όπου μια πληθώρα μεμονωμένων προτάσεων συμπεριλαμβάνονται σε μια απλή πρόταση και το πιο αξιοσημείωτο είναι ότι όχι μόνο ο άνθρωπος προτιμά αυτό τον ιδιαίτερο τρόπο θεώρησης αλλά και η φύση. Εύχομαι ορισμένοι από τους καρπούς της επιστημονικής σας δουλειάς να κοσμούν τα ακαδημαϊκά πεπραγμένα μας».



Ο Λογισμός των μεταβολών κατέστη με τη συμβολή του Κ. Καραθεοδωρή από τους σημαντικότερους μαθηματικούς κλάδους.

Στο σημείο αυτό νομίζουμε πως πρέπει να γίνει υπενθύμιση ποιο είναι το γενικό πρόβλημα του λογισμού των μεταβολών στην απλούστερη μορφή του. Όταν έχουμε ένα ορισμένο ολοκλήρωμα με συνάρτηση μιας μεταβλητής και την παράγωγο αυτής, να βρεθεί συνάρτηση που να κάνει το ολοκλήρωμα ελάχιστο ή μέγιστο.

Η ενορατική αντίληψη του προβλήματος αυτού με γεωμετρική ερμηνεία διατυπώνεται ως εξής: Μεταξύ δύο διαφορετικών σημείων Α και Β του επιπέδου άγονται άπειρες καμπύλες εκ των οποίων ζητείται εκείνη η οποία είναι γραφική παράσταση συνάρτησης ανεξαρτήτου μεταβλητής και η συνάρτηση αυτή ‘‘εισαγόμενη’’ σε ολοκλήρωμα με παράσταση που εμπεριέχει την συνάρτηση αυτή και την παράγωγό της να δίνουν την ελαχίστη ή την μέγιστη τιμή στο ολοκλήρωμα, από κάθε άλλη τιμή που αντιστοιχεί σε κάθε άλλη από τις παραπάνω θεωρηθείσες καμπύλες.

Από το παραπάνω πρόβλημα που αναφέρθηκε ιδιαίτερη περίπτωση παρουσιάζει η περίπτωση κατά την οποία έχουμε μεταξύ των σημείων Α και Β συνεχείς καμπύλες, οι οποίες εμφανίζουν ένα γωνιακό σημείο εμφανίζοντας ασυνέχεια της συνάρτησης που ορίζεται ως εξής: σε κάθε σημείο μεταξύ των Α και Β αντιστοιχεί ο παράγωγος αριθμός. Έτσι στο γωνιακό σημείο x₀ έχουμε:

που σημαίνει ότι η παράγωγος της είναι ασυνεχής (είναι γνωστό ως πρόβλημα ασυνεχών λύσεων). Μια τέτοια συνάρτηση φτιάχνεται εύκολα με κλάδους. Το πρόβλημα αυτό εκ των θεμελιωδών του Λογισμού των μεταβολών αν και απασχόλησε πολλούς μαθηματικούς δεν είχε τη λύση του.

Τη λύση έδωσε ο Καραθεοδωρή διατυπώνοντας και τις αναγκαίες συνθήκες για την επίλυση του προβλήματος και μάλιστα υπέδειξε και την επέκτασή του για την περίπτωση περισσοτέρων του ενός αλλά πεπερασμένων γωνιακών σημείων. Σ’ αυτή την εργασία ο Καραθεοδωρή εξέτασε και το ισοπεριμετρικό πρόβλημα των ασυνεχών λύσεων στο λογισμό των μεταβολών, υπό παραμετρική μορφή. Σημειωτέον ότι οι μαθηματικοί έως τότε δεν διέγνωσαν την συγγένεια του λογισμού των μεταβολών με τις διαφορικές εξισώσεις. Ούτε ο σπουδαίος Jacobi , ούτε οι μαθητές του, ούτε άλλοι διαπρεπείς μαθηματικοί που με το έργο τους ανέπτυξαν την μαθηματική επιστήμη.

Ο Καραθεοδωρή διετύπωσε επίσης μία γενική μέθοδο εξέτασης των προβλημάτων του λογισμού των μεταβολών η οποία αναπτύχθηκε ακόμη περισσότερο με άλλες εργασίες του Καραθεοδωρή και σε συνδυασμό με εργασίες των Bernoulli , Weirstrass , Hamilton , Hilbert κ.α.
Τα κλασσικά έργα γύρω από τον λογισμό των μεταβολών που εκδόθηκαν μετά την εν λόγω εργασία του Καραθεοδωρή όπως είναι του O . Bolza του Hadamard , του Bliss , του Leonida Tonelli , του Forsayth αφιερώνουν ειδικά κεφάλαια για το έργο και τη θεωρία του Κ. Καραθεοδωρή.

Γι’ αυτό πολύ εύστοχα και στον ανδριάντα του που κοσμεί την κεντρική πλατεία της πρωτεύουσας της Θράκης, την Κομοτηνή κρατάει ένα βιβλίο με την επιγραφή στο εξώφυλλο "ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ".

Γι’ αυτό το βιβλίο ο σπουδαίος καθηγητής Νίκος Κριτικός αναφωνεί την Θουκυδίδεια φράση: ''κτήμα τε ες αει μάλλον ή αγώνισμα ες το παραχρήμα ακούειν ξύγκειται'', που σημαίνει: το έργο έχει γραφτεί πιο πολύ σαν μελέτημα παντοτινό παρά σαν ανάγνωσμα της στιγμής για να το ακούν ευχάριστα.

πηγή: http://www.karatheodori.gr/